Commit 10c11696 authored by CHOQUEUSE Vincent's avatar CHOQUEUSE Vincent
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\title{Travail collaboratif:\\
Construction d'un outil permettant d'analyser et de synthétiser des filtre d'ordre 2 }
\author{Céline Ansquer, Eric Boucharé, Kamal Boudjelaba, Vincent Choqueuse}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Cadrage du travail collaboratif}
\subsection{Objectifs}
Construire de manière collaborative des fichiers Jupyter Notebook permettant de :~\\
\begin{itemize}
\item retrouver de manière rapide les fonctions de transfert normalisées exprimées en fonction des composants du circuit;
\item obtenir les paramètres du filtre étudié en fonction des valeurs de composants choisies;
\item obtenir les valeurs de composants nécessaires pour répondre à un gabarit donné.
\end{itemize}
\subsection{Organisation du repo}
Le repo Gitlab est constitué de plusieurs fichiers Jupyter Notebook disponibles dans le répertoires src:~\\
\begin{itemize}
\item circuits RLC;
\item circuits RC;
\item circuits à structure de Rauch (ampli inverseur);
\item circuits à structure de Sallen \& Key (ampli non inverseur).~\\
\end{itemize}
A la racine, le fichier \texttt{index.ipynb} permet de naviguer rapidement dans l'arborescence du projet. Pour chaque circuit, 3 zones doivent être complétée:~\\
\begin {itemize}
\item \textbf{Fonction de Transfet}: la fonction de transfert à rentrer dans une formule en respectant les indices des composants du schéma proposé. Cette fonction de transfert devra être présentée sous forme normalisée;
\item \textbf{Fonction compute\_parameters}: les paramètres du filtre ($\omega_0$, $m$ et $K$) doivent être calculés par des instructions Python;
\item \textbf{Fonction compute\_component}: Vous devez choisir le nombre de composants à poser arbitrairement et lesquels. Les autres composants sont alors calculés par une formule prenant comme données d'entrée tout ou partie du cahier des charge et des composants fixés.
\end {itemize}
\subsection{Travail demandé}
\begin{itemize}
\item Chaque étudiant s'engage à contribuer sur au moins \textbf{1 filtre passif et 1 filtre actif}.
\item Il est fortement conseillé de vérifier vos fonctions en utilisant LTSpice.\\
\end {itemize}
Plus la répartition des filtres étudiés sera bien faite, plus l'outil final du groupe sera intéressant. Les étudiants qui le souhaitent peuvent organiser cette répartition, cet investissement sera pris en compte dans la note finale. Les étudiants qui le souhaitent peuvent aussi prendre en charge la vérification d'une ou plusieurs contributions et le faire apparaitre dans les Notebooks. Cet investissement sera pris en compte dans la note finale. Une fois toutes les contributions rendues, les enseignants s'engagent à compiler les bonnes réponses et fournir au groupe un outil le plus complet possible.
\newpage
\section{Exemple d'application sur un circuit passif (simulation 1)}
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{./img/circuit1.png}
\caption{Circuit RLC parallèle}
\end{figure}
\subsection{Calcul de la fonction de transfert}
En utilisant le pont diviseur de tension, nous obtenons l'expression de $\underline{V_s}$ en fonction de $\underline{V_e}$
\begin{align*}
\overline{V_s} = \frac{Z_{eq}}{R_2+Z_{eq}}\overline{V_e} \Rightarrow \frac{\overline{V_s}}{\overline{V_e}} = \frac{1}{1+\frac{R_2}{Z_{eq}}}
\end{align*}
$Z_{eq}$ correspond à l'impédance équivalente à la mise en parallèle de $L$, $R_1$ et $C$. Avec 3 dipôles en parallèle, il est intéressant de faire apparaitre l'admittance :
\begin{align*}
\frac{\overline{V_s}}{\overline{V_e}} = \frac{1}{1+R_2 Y_{eq}}
\end{align*}
$Y_{eq}$ correspond à l'admittance équivalente et est définie par
\begin{align*}
Y_{eq}&\triangleq \frac{1}{Z_L}+\frac{1}{Z_{R_1}}+\frac{1}{Z_c}\\
&=\frac{1}{Lp}+\frac{1}{R_1}+Cp\\
&=\frac{LR_1p}{R_1+Lp+R_1LCp^2}
\end{align*}
La fonction de transfert s'écrit alors
\begin{align*}
T(p)= \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}}& = \frac{1}{1+\frac{R_2 (R_1+Lp+R_1LCp^2)}{LR_1p}}= \frac{LR_1p}{R_2 R_1+L(R_1+R_2)p+R_1R_2LCp^2}
\end{align*}
La forme normalisée s'obtient en imposant un terme d'ordre $0$ unitaire au dénominateur. Mathématiquement, cette forme s'obtient alors en divisant le numérateur et le dénominateur par $R_2 R_1$. Nous obtenons finalement:
\begin{align}
\label{FTcomp}
T(p)&= \frac{\frac{L}{R_2}p}{1+L(\frac{R_1+R_2}{R_1R_2})p+LCp^2}
\end{align}
\subsection{Identification des paramètres (fonction compute\_parameters)}
Nous observons que la fonction de transfert $T(p)$ correspond à la fonction de transfert d'un filtre passe-bande d'ordre 2. Rappelons que la fonction de transfert d'un passe-bande d'ordre 2 s'exprime sous la forme
\begin{align}
\label{FTnorm}
T(p)&= \frac{\frac{T_i}{\omega_0}p}{1+2\frac{m}{\omega_0}p+\frac{1}{\omega_0^2}p^2}
\end{align}
$T_i=2mT_{max}$ correspond à l'intersection des asymptotes, $m$ correspond au coefficient d'amortissement et $\omega_0$ correspond à la pulsation propre (en rad/s). En identifiant \eqref{FTcomp} et \eqref{FTnorm}, nous obtenons:
\begin{align*}
\frac{1}{w_0^2}=LC &\Rightarrow w_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\frac{2m}{w_0}=L\left(\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}\right) &\Rightarrow m=\frac{1}{2}\left(\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}\right)\sqrt{\frac{L}{C}}\\
\frac{T_i}{w_0}=\frac{L}{R_2} &\Rightarrow T_i=\frac{L \omega_0}{R_2}=\frac{1}{R_2}\sqrt{\frac{L}{C}}
\end{align*}
Concernant le gain maximum, nous trouvons (On retrouve bien le pont diviseur sur dipôles résistifs)
\begin{align*}
T_{max} = \frac{T_i}{2m} = \frac {R_1} {R_1 + R_2}
\end{align*}
Nous pouvons également définir la bande passante (en Hz):
\begin{align*}
\Delta f &= 2m f_0 = \frac{1}{C} \left(\frac {R_1 + R_2} {R_1 R_2}\right)
\end{align*}
\paragraph{Application Numérique}: En prenant $R_1=10 k\Omega $; $R_2 = 12k\Omega$ ; $C = 10 nF$ et $L = 47 mH$, nous trouvons $\omega_0 = 46126 rad/s$, $f_0 = 7341 Hz$, $m= 0.2$ et $T_{max} = 0.45$. La bande passante est alors égale à $\Delta f = 2936 Hz$
\subsection{Mise en équation des composants (fonction compute\_component)}
Nous disposons de $3$ équations avec $4$ composants à déterminer. Nous choisissons arbitrairement de fixer $L$. Nous cherchons alors à résoudre le système suivant :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
w_0 &=\frac{1}{\sqrt{LC}}\\
m &=\frac{1}{2}\left(\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}\right)\sqrt{\frac{L}{C}}\\
T_{max} &=\frac {R_1} {R_1 + R_2}\\
\end{aligned}
\right.
\Longleftrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
C&=\frac{1}{L \left(2 \pi f_0 \right)^2}\\
R_2&=\frac{1}{2 m T_{max}}\sqrt{\frac{L}{C}}\\
R_1 &= \frac{R_2 T_{max}}{1 - T_{max}}\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\paragraph{Application Numérique}: Fixons arbitrairement $L = 0.47 mH$. Pour obtenir un filtre présentant un $T_{max} = 0.8$ et une bande passante de 2kHz autour d'une fréquence propre $f_0=10$~kHz c-a-d $m=0.1$, nous devons alors fixer $C = 5$ nF, $R_2 = 19162 \Omega$ et $R_1 =76648 \Omega$.
\newpage
\section{Exemple d'application sur un circuit actif (simulation 2)}
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{./img/circuit2.png}
\caption{filtre passe bande de Rauch}
\end{figure}
\subsection{Calcul de la fonction de transfert }
Aucun regroupement de composants n'est possible, il faudra écrire plusieurs équations pour obtenir la fonction de transfert.
Soit $V$ la tension aux bornes de $R_2$. Cette tension représente le potentiel du noeud d'entrée du circuit. A noter que l'entrée non inverseuse de l'AOP est reliée à la masse ce qui, en fonctionnement linéaire, implique que le potentiel de l'entrée inverseuse est nul.
\paragraph{Technique 1: Loi des noeuds}
Nous pouvons alors écrire l'équation de ce noeud afin d'obtenir une équation liant $V$, $V_e$ et $V_s$:
\begin{align}
\label{eqnoeud}
\frac{V_e - V}{R_1} + \frac{0-V}{R_2}+\frac{V_s - V}{Z_{C2}}+\frac{V^- - V}{Z_{C1 }} =0
\Longleftrightarrow
\frac{V_e - V}{R_1}+\frac{V_s - V}{Z_C2} = V \left[\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{Z_{C2}}+\frac{1}{Z_{C1}} \right]
\end{align}
\paragraph{Technique 2: Théorème de Millman}
Le Théorème de Millman (théorème des noeuds généralisé) se révèle très utile dans les montages à base d'AOP pour déterminer la fonction de transfert d'un circuit (voir \url{\https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Millman}). En utilisant le théorème de Millman autour de la tension $V$ (tension aux bornes de $R_2$), nous obtenons directement:
\begin{align}
V = \frac{\frac{V_e}{R_1}+\frac{0}{R_2}+\frac{V_s}{Z_{C2}}+\frac{V_{-}}{Z_{C1}}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{Z_{C2}}+\frac{1}{Z_{C1}}}
\end{align}
Une deuxième équation sera obtenue en observant le montage autour de l'AOP. En particulier, nous pouvons remarquer qu'une relation de type montage inverseur peut être écrite via la branche $C_1 \backslash R_3$:
\begin{align}
\label{eqinv}
V_s = - \frac {R_3}{Z_{C1}} V \Rightarrow V = - \frac{Z_{C1}} {R_3}V
\end{align}
En mixant \eqref{eqnoeud} et \eqref{eqinv} et en isolant le terme en $V_e$, nous obtenons alors :
\begin{align*}
\frac {V_e}{R_1} &= - V_s \left[ \frac{1}{Z_{C2}} + \frac{Z_{C1}}{R_3} \left ( \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{Z_{C2}}+\frac{1}{Z_{C1}} \right) \right]\\
V_e &= - V_s \left [\frac{R_1}{Z_{C2}} + \frac{Z_{C1}}{R_3} \left ( 1+\frac{R_1}{R_2}+\frac{R_1}{Z_{C2}}+\frac{R_1}{Z_{C1}} \right) \right]\\
\frac {V_e}{V_s} &= - \left[R_1 C_2 p + \frac{1}{R_3 C_1 p} + \frac {R_1 }{R_2 R_3 C_1 p} + \frac {R_1 C_2}{R_3 C_1} + \frac {R_1}{R_3} \right]
\end{align*}
\paragraph{Remarque :} nous veillerons à ne surtout pas mettre au même dénominateur la somme de fractions.~\\
En utilisant le résultat précédent, nous pouvons en déduire que la fonction de transfert s'exprime sous la forme
\begin{align*}
T(p) &=\frac {-1}{\displaystyle \frac {R_1 C_2}{R_3 C_1} + \frac {R_1}{R_3} + R_1 C_2 p + \displaystyle \frac{1}{R_3 C_1 p} \left( 1 + \frac{R_1}{R_2} \right)}\\
&=\frac {-1}{ \displaystyle \frac {1}{R_3 C_1 p} \left(\frac {R_2 + R_1}{R_2}\right) + \frac {R_1}{R_3}\left( \frac{C_2 + C_1}{C_1}\right) + R_1 C_2 p }
\end{align*}
Pour présenter cette fonction de transfert sous une forme normalisée, il suffit de multiplier son numérateur et son dénominateur par l'inverse du terme en $p^{-1}$
\begin{align}
\label{eqBPrauch}
T(p) &= \frac {-\displaystyle \frac {R_2 R_3 }{R_2 + R_1} C_1 p}{ 1+ \displaystyle \frac {R_1 R_2}{R_1 + R_2} \left( C_1 + C_2 \right) p + \displaystyle \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} R_3 C_1 C_2 p^2}
\end{align}
\subsection{Identification des paramètres ((fonction compute\_parameters))}
Nous observons que la fonction de transfert $T(p)$ correspond à la fonction de transfert d'un filtre passe-bande d'ordre 2. En identifiant \eqref{FTnorm} et \eqref{eqBPrauch}, nous obtenons:
\begin{align*}
w_0 &=\sqrt {\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2 R_3 C_1 C_2}} \\
m &=\frac {1}{2} \sqrt {\frac{R_1 R_2}{R_3 \left (R_1 + R_2\right)}} \left( \frac{C_1 + C_2}{\sqrt{C_1 C_2}} \right)\\
T_i &= - \sqrt {\frac{R_2 R_3 C_1}{ R_1 \left( R_1 + R_2 \right) C_2}}
\end{align*}
A partir de ces égalités, nous pouvons également en déduire la fréquence propre, la bande passante (en Hz) et le gain maximum:
\begin{subequations}
\begin{align}
f_0 &=\sqrt {\frac{R_1 + R_2}{4 \pi^2 R_1 R_2 R_3 C_1 C_2}} \\
\Delta f_0 &= \frac{C_1 + C_2}{2 \pi R_3 C_1 C_2}\\
T_{max} &= - \frac {R_3 C_1}{R_1 \left(C_1 + C_2 \right)}
\end{align}
\label{sys1}
\end{subequations}
\paragraph{Application Numérique}: En prenant $R_1=10 k\Omega $; $R_2 = 1.2k\Omega$, $R_3 = 50 k \Omega$, $C_1 = 33 nF$ et $C_2 = 10 nF$, nous obtenons $f_0 =1197 Hz$, $\Delta f= 415 Hz$, $m = 0.17$ et $T_{max} = -3.84$.
\subsection{Mise en équation des composants (fonction compute\_component)}
Le système ne permet la détermination que de 3 des 5 composants. Nous devons donc fixer 2 composants arbitrairement. Il n'y a pas de règle, c'est au vu des équations disponibles que telle ou telle option s'avérera judicieuse. Nous pouvons aussi, suivant les cas, chercher à faire apparaitre des rapports de composants pour simplifier les écritures. A partir du système \eqref{sys1} et en imposant les valeurs de $R_1$ et $C_1$, nous obtenons les composants suivants :
\begin{align*}
C_2 &=\frac{- 1}{2 \pi BP \ T_{max} R_1}\\
R_3 &=\frac{C_1 + C_2}{2 \pi BP \ C_1 C_2}\\
R_2 &= \frac{R_1 }{4 \pi^2 f_0^2 R_1 R_3 C_1 C_2 - 1}
\end{align*}
\paragraph{Application Numérique}: Fixons arbitrairement $R_1 = 15 k\Omega$ et $C_1 = 22 nF$. Pour obtenir un filtre présentant un $T_{max} = -5$ et une bande passante de 3kHz autour d'une fréquence propre $f_0 = 5kHz$ (soit $m=0.3$), nous devons fixer $C_2 = 0.7$ nF, $R_3 = 78199 \Omega$ et $R_2 =891 \Omega$.
\end{document}
\select@language {french}
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Calcul de la fonction de transfert }{5}
\contentsline {paragraph}{Technique 1: Loi des noeuds}{5}
\contentsline {paragraph}{Technique 2: Th\IeC {\'e}or\IeC {\`e}me de Millman}{5}
\contentsline {paragraph}{Remarque :}{6}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Identification des param\IeC {\`e}tres ((fonction compute\_parameters))}{6}
\contentsline {paragraph}{Application Num\IeC {\'e}rique}{6}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3}Mise en \IeC {\'e}quation des composants (fonction compute\_component)}{6}
\contentsline {paragraph}{Application Num\IeC {\'e}rique}{7}
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